I. Статистическое оценивание

Учебный модуль

СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ Характеристик

ПОСТРОЕНИЕ ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ИНТЕРВАЛОВ


Учебный модуль «Статистические оценки характеристик. Построение доверительных интервалов» предназначен для студентов специальности «Управление качеством». Основная направленность модуля углубленное и самостоятельное исследование студентами дисциплины «Статистические способы в управлении качеством».

Модуль может быть применен также при подготовке студентов к муниципальному экзамену и в процессе дипломного проектирования, также в I. Статистическое оценивание процессе подготовки аспирантов по специальности 05.02.23 «Стандартизация и управление качеством продукции».

Модуль рассчитан также на широкий круг лиц, занимающихся разработкой систем свойства, практическим управлением качеством и анализом результатов самооценки эффективности функционирования систем менеджмента свойства.

Требования к уровню подготовки студентов:

Студенты должны за ранее освоить курс «Математическая статистика», знать главные статистические законы I. Статистическое оценивание и формулы вычисления их характеристик: математического ожидания и дисперсии.


Содержание учебного модуля
I. Статистическое оценивание
II. Построение доверительного интервала для математического ожидания генеральной совокупы при известном стандартном отклонении
III. Построение доверительного интервала для математического ожидания генеральной совокупы при неведомой дисперсии
IV. Построение доверительного интервала для толики признака в генеральной I. Статистическое оценивание совокупы
V. Определение объема подборки
5.1. Определение объема подборки для оценки математического ожидания
5.2. Определение объема подборки для оценки толики признака в генеральной совокупы
VI. Применение доверительных интервалов при проведении самооценки СМК
6.1. Оценка суммы частей генеральной совокупы
6.2. Оценка разности
6.3. Односторонняя оценка толики нарушений установленных правил
VII. Вычисление оценок и объема выборок I. Статистическое оценивание, извлеченных из конечной генеральной совокупы
7.1. Оценка математического ожидания
7.2. Оценка толики признака
7.3. Определение объема подборки
Таблица 1. Значения функции Ф(-x £ z£ x)
Таблица 2. Критичные значения рассредотачивания Стьюдента

В итоге исследования данного модуля и выполнения самостоятельной работы студент должен завладеть последующими компетенциями:

• Уметь использовать методологию построения доверительных интерваловв разных I. Статистическое оценивание областях производственной и управленческой деятельности

• Делать построение доверительного интервала для математического ожидания генеральной совокупы при известной и неведомой дисперсии

• Уметь делать построение доверительного интервала для толики признака в генеральной совокупы

• Определять объем подборки для оценки математического ожидания и толики признака в генеральной совокупы

• Уметь использовать методологию построения доверительных интерваловпри проведении внутреннего аудита и анализа результатов, характеризующих I. Статистическое оценивание эффективность функционирования систем менеджмента свойства

• Проводить вычисления оценок и объема выборок, извлеченных из конечной генеральной совокупы

•Уметь разрабатывать вербальные модели бизнес-процессов, качество функционирования которых может быть описано с внедрением формул доверительных интервалов

Уметьиспользоватьпроцедуры Ехсеl при построении доверительных интервалов.

Качество усвоения студентами данного модуля оценивается по результатам защиты персональной контрольной I. Статистическое оценивание работы, оформляемой каждым студентом в письменном виде.


I. Статистическое оценивание

Статистическое оценивание – это анализ выборочных черт. Его преимуществами являются:

• результаты выборочного исследования беспристрастны и обоснованны, так как определение объема подборки основано на точно сформулированных статистических принципах;

• способ выборочного исследования позволяет заблаговременно найти объем подборки;

• способ позволяет оценить ошибку выборочного исследования;

• этот подход I. Статистическое оценивание можно использовать для более четкой оценки характеристик, так как исследование большой генеральной совокупы может занять много времени и даже сопровождаться значительными ошибками нестатистического нрава;

• Способ выборочного исследования позволяет беспристрастно оценить результаты проверки, так как его точность известна заблаговременно.

Случайная подборка из n частей — это таковой отбор, при котором элементы извлекаются I. Статистическое оценивание по одно­му из всей генеральной совокупы и любой из их имеет равный шанс быть отобранным. Требо­вание случайности обеспечивается отбором по таб­лицам случайных чисел либо по жребию. Такая подборка именуется собственно-случайной. Одним из примеров использования собственно-случайной подборки является проведение тиражей выигрышей денежно-вещевых лотерей, при которых I. Статистическое оценивание обеспечи­вается равная возможность попадания в тираж лю­бого номера лотерейного билета.

По методу отбора частей различают два типа случайных выборок: собственно-случайная повтор­ная (схема возвращенного шара); собственно-случай­ная бесповторная (схема невозвращенного шара).

Выбор схемы отбора находится в зависимости от нрава изучае­мого объекта. При повторном отборе единица I. Статистическое оценивание наблюдения после извлечения из генераль­ной совокупы регится и вновь возвраща­ется в генеральную совокупа, откуда снова мо­жет быть извлечена случайным образом. При бес­повторном отборе элемент в подборку не возвращает­ся. Необходимо подчеркнуть, что независимо от метода орга­низации подборки она должна представлять собой уменьшенную копию генеральной совокупы I. Статистическое оценивание, т.е. быть презентабельной (репрезентативной).

Числовые свойства генеральной совокуп­ности, обычно, неопознаны (математическое ожидание, диспер­сия и др.), именуются параметрами генеральной совокупы. Их обозначают:μ, . Толика единиц, владеющих тем либо другим при­знаком в генеральной совокупы, именуется ге­неральной долейи обозначается буковкой р.

По данным подборки рассчитывают числовые свойства I. Статистическое оценивание, которые именуют статистиками. Обозначим выборочные статистики для среднего арифметического, дисперсии и толики соответственно через , и рn.Одноименные статистики, получаемые по раз­личным подборкам, обычно, отличаются друг от друга. Потому статистика, приобретенная из вы­борки, является только оценкойневедомого пара­метра генеральной совокупы. Оценка парамет­ра — это определенная числовая черта, по­лученная из I. Статистическое оценивание подборки.Лучше, чтоб оценки характеристик генеральной совокупы обладали качествами несмещенности, состоятельности и эффективности.

Несмещенная оценка значит свойство, состоящее в том, что математическое ожидание оценки (к примеру, средняя выборочного рассредотачивания) равно параметру генеральной совокупы (М( )=μ). При соблюдении этого характеристики в итоге воплощения огромного количества выборок для определения оценки одни выборочные характеристики I. Статистическое оценивание будут больше параметра генеральной совокупы, другие меньше, но среднее значение будет равно параметру генеральной совокупы. Напротив, при смещенной оценке среднее значение будет больше либо меньше параметра генеральной совокупы.

Состоятельность – это свойство оценки, согласно которому дисперсия оценки миниатюризируется до нуля с повышением объема подборки до бесконечности.

Оценки, которые сразу и несмещенные, и I. Статистическое оценивание имеют меньшую дисперсию, именуются действенными оценками.

Когда оценка определяется одним числом, ее именуют точечной оценкой.

В качестве точечных оценок характеристик генераль­ной совокупы употребляются надлежащие выборочные свойства. Теоретическое обосно­вание способности использования этих выборочных оценок для суждений о свойствах и свойствах генеральной совокупы дают закон огромных чи­сел. Смысл его результатов состоит в I. Статистическое оценивание том, что при осреднении огромного числа (n) случайных слагаемых все наименее ощуща­ется соответствующий для случайных величин неконтролируемый разброс в их значениях, так что в пределепри этот разброс исчезает совсем либо, как принято гласить, случайная величина вырождается в неслучай­ную. Но при любом конечном числе слагаемых пслучайный разброс у среднего I. Статистическое оценивание арифметического этих слагаемых остается. Потому появляется вопрос исследования нрава этого разброса.

Выборочная средняя является точечной оценкой генеральной средней, т.е.

Генеральная дисперсия имеет 2 точечные оцен­ки: σ2выб. — выборочная дисперсия; S2— исправлен­ная выборочная дисперсия[1]. σ2выб исчисляется при п > 30, a S2 — при п < 30. При этом в математичес­кой статистике доказывается, что

При огромных I. Статистическое оценивание объемах подборки σ2выб и S2 практи­чески совпадают.

Так как выборочная совокупа представля­ет собой только часть генеральной совокупы, то полностью естественно, что выборочные характеристи­ки не будут точно совпадать с надлежащими генеральными. Ошибка репрезентативности может быть представлена как разность меж генераль­ными и выборочными чертами изучаемой совокупы:

Применительно к I. Статистическое оценивание выборочному способу из аксиомы Чебышева следует, что с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, можно утверждать, что при довольно большенном объеме подборки и ограниченной дисперсии генеральной совокупы разность меж выборочной средней и генеральной средней будет сколь угодно мала и оценивается по формуле:

(1)

где — среднее арифметическое по совокупы избранных I. Статистическое оценивание еди­ниц;

μ — среднее арифметическое по генеральной совокупы;

σген — среднее квадратическое отклонение в гене­ральной совокупы;

t – коэффициент доверия.

В предстоящем нижний индекс при обозначении среднего квадратического отличия в гене­ральной совокупы будем опускать, а среднее квадратическое отклонение по выборке обозначать через S.

Согласно центральной предельной аксиоме, выборочные рассредотачивания статистик (при п > 30) будут иметь обычное I. Статистическое оценивание рассредотачивание независимо от того, какое рассредотачивание имеет генеральная со­вокупность. Как следует,

(2)

где Ф0(t) — функция Лапласа. Эта функция нередко используемся для вычисления вероятности попадания случайной величины Х, распределеннойпо нормальному закону в интервал от значения α до значения β:

.

Выражение (2) указывает, что о величине расхождения меж и μ можно судить только с определенной I. Статистическое оценивание вероятностью, значение которой находится в зависимости от стандартной ошибки (standard error) выборочных средних и показателя t. Потому в теории статистического анализа для оценки черт генеральной совокупы кроме точечных оценок употребляются и интервальные оценки.

При выборочном исследовании генеральной совокупы и формулировании статистических выводов нередко появляются этические трудности. Основная из их I. Статистическое оценивание — как согласуются доверительные интервалы и точечные оценки выборочных статистик. Публикация точечных оценок без указания соответственных доверительных интервалов (обычно, имеющих 95%-ный доверительный уровень) и объема подборки, на базе которых они получены, может породить недоразумения. Это может сделать у юзера воспоминание, что точечная оценка — конкретно то, что ему нужно, чтоб предсказать характеристики I. Статистическое оценивание всей генеральной совокупы. Таким макаром, нужно осознавать, что в всех исследовательских работах во главу угла должны быть поставлены не точечные, а интервальные оценки. Не считая того, повышенное внимание следует уделять правильному выбору объемов подборки. В большинстве случаев объектами статистических манипуляций становятся результаты социологических опросов населения по тем либо другим политическим I. Статистическое оценивание дилеммам. Чтоб обосновать обоснованность приобретенных точечных оценок, нужно указывать объем подборки, на базе которой они получены, границы доверительного интервала и его уровень значимости.

Интервальной оценкой именуют оценку, кото­рая определяется 2 числами — концами интерва­ла, который с определенной вероятностью накры­вает неведомый параметр генеральной совокуп­ности. Интервал, содержащий оцениваемый пара­метр I. Статистическое оценивание генеральной совокупы, именуют дове­рительным интервалом.

Для его определения вы­числяется предельная ошибка подборки, позволя­ющая установить предельные границы, в каких с данной вероятностью (надежностью) должен на­ходиться параметр генеральной совокупы.

Предельная ошибка подборки равна t - кратному числу средних ошибок подборки. Коэффициент tпозволяет установить, как накрепко выска­зывание о I. Статистическое оценивание том, что данный интервал содержит параметр генеральной совокупы. Если мы вы­берем коэффициент таким, что выражение в 95% случаев окажется правильным и исключительно в 5% — неверным, то мы говорим: со статистичес­кой надежностью в 95% доверительный интервал выборочной статистики содержит параметр гене­ральной совокупы.Статистической надежности в 95% соответствует доверительная возможность — 0,95. В I. Статистическое оценивание 5% случаев утверждение «параметр принадлежит доверительному интервалу» будет неправильным, т. е. 5% задает уровень значимости(α),либо возможность ошибки равна 0,05. Обычно в статистике уровень значимости выбирают таким, чтоб он не превы­сил 5% (α < 0,05). Доверительная возможность и уровень значимости дополняют друг дружку до 1 (либо 100%) и определяют надежность статистического выражения (см. рис.1).

Доверительный уровень равный 95%, интерпретируется последующим образом:

если I. Статистическое оценивание из генеральной совокупы извлечь все подборки, имеющие объем п, и вычислить их выборочные средние, то 95% доверительных интервалов, построенных на их базе, будут содержать математическое ожидание генеральной совокупы, а 5% — нет.

Рис. 1. Доверительный интервал и предельная ошибка подборки


i-uchebno-metodicheskie-razrabotki-aud-74.html
stat.txt
i-provedeniyu-publichnih-slushanij.html